DISTRIBUCION BINOMIAL

DISTRIBUCION BINOMIAL

 

Función de probabilidad discreta

   Distribución binomial

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad y viene dada por la expresión siguiente. B(x: n, p)=(n/x)px(1-p)n-1

 

DONDE:

X= número de éxitos (x=0, 1,2…n)
P= probabilidad de éxitos
1-P= probabilidad de fracasos
N= tamaño de la muestra o números de ensayos

 

 

Condiciones para la distribución binomial

 

Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes.

 

·         El experimento aleatorio de base se repite (n) beses, todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

 

·         En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresando por (b). Así mismo existe en cada prueba una misma probabilidad de fracasos que es igual a 1-p.

 

·         El objetivo de la distribución es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos.

 

·         La variable aleatoria “x” que indica el número de veces que  aparece un suceso denominado “A” (éxitos) es discreta y su recorrido es el conjunto de {(1,2,3…n)}

 

·         Los ejercicio los resolveremos con tablas estadísticas y posteriormente con la hoja de cálculo Excel de Microsoft ofiswort.

 

n	x	P=0,1	P=0,2	P=0,3	P=0,4	P=0,5
2	0	0.81000	0.6400	0.4900	0.3600	0.2500
	1	0.1800	0.3200	0.4200	0.4800	0.5000
	2	0.0100	0.0400	0.0900	0.1600	0.2500
3	0	0.7290	0.5120	0.3430	0.2160	0.1250
	1	0.2430	0.3840	0.4410	0.4320	0.3750
	2	0.0270	0.0960	0.1890	0.2880	0.3750
	3	0.0010	0.0080	0.0270	0.0640	0.1250

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Puede apreciarse en la primera columna aparece(n) en la segunda columna los valores de (x) por cada n y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de P.

Por ejemplo si estamos interesado en encontrar  la probabilidad binomial de n=3 ensayos de los cuales x=2  son éxitos con una probabilidad de acierto de P=0.40

=Distribución. Binom. N  (num-exitos; ensayos, proob- éxitos, acumulación)

 Se ubica en una celda bacía y se escribe  = distrib. Binom. N. El software le mostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo. Puede ver que entre paréntesis aparecen 4 parámetros:

 

Ensayos: es el tamaño de la muestra n

Prov.-éxito: probabilidad p de éxito

Acumulado: verdadero o falso. (Si escribe verdadero: la distribución calcula la distribución binomial acumulada desde “x” hasta “o” si escribe falso la distribución binomial solo calcula el valor puntual de “x”.

Por ejemplo: si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de n=3, ensayos de los cuales x=2, son éxitos con una probabilidad de acierto de p= 0.4 que da el mismo resultado conforme avanza la tabla.  = distrib. Binom. N (2, 3,0.40, falso)= 0.2800.

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas no obstante en algunos casos habrá pequeñas diferencias dado que las tablas contienen solo valores de probabilidad de cuadro decimales (es decir 10 milésimas) y en  Excel puede pedirle que le muestre los decimales que quiera.

EJERCICIO 1.

Sea x= núm. De preguntas contestadas correctamente en los tés (examen) de un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar.

 

A)     5 preguntas correctamente

 

B)      Una o más preguntas correctamente

 

C)       5 o más preguntas correctamente

 

D)     Entre 3 y 6 preguntas correctamente

 

Solución

N=10
       P= p (éxito) = p (pregunta contestada correctamente) = 0.5
       : . P – permanece constante

Asumiendo independencia  entre las construcciones de las preguntas obtendremos que  X  INDINITO  con (0, 0.5)

 

A)     P (X=5) b (X05,n=10) P 0 0.5

 

B)      P(X≥1) =- P (X<1>=1-P(X=0)=1-B(X=0,n=10, p=0.5)

 

C)      P(X≥5)=-P(X<1>=5-P(X=0)=5-B(X=0,N=10,P=0.5)

 

D)     P(X≤ X≤ 6)=B(X≤6;N=10,N=0.5)-B*(X<-2/N=10,P=0.5)

 

USANDO EXCEL.

A)     Distrib. Binom. n(5,10,0.5,falso)=0.2461

 

B)      1- Disrtib. Binom. n(0,10,0.5,falso)= 1-0.0010= 0.9990

 

C)      1- Distrib. Binom. n(4,10,0.5,verdadero)=1-0.3770=0.6230

 

D)     Distrib. Binom. n (6, 10,0.5; verdadero) – Distrib. Binom. n 1(2;10,0.50,verdadero)

 

=0.8281-0.547=0.7734

 

 EJERCICIO 2.

 

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

A)     Ninguno este defectuoso

 

B)      Uno salga defectuoso

 

C)      Amenos dos salgan defectuosos

 

D)     Más de tres estén con defectos

 

E)      No más de tres estén con defectos

 

SOLUCION USANDO TABLAS BINOMIALES

 
A)     P(x=0) = b(x=0;n=10;p=0.2) = 0.1074

 

B)      P(x=1) = b(x=1;n=10;p=.2)= 0.2684

 

C)      P(x ≥2)=1-p(x≤1)=1-b(x≤1;n=10;p=0.2)=0.6242

 

D)     P(x ≥ 3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2;n=10;p=0.2)=0.3222

 

E)      P(x≤3)=1-p(x≥3;n=10;p=0.2)=0.8791

 

SOLUCION USANDO EXCEL

 

A)     Distrib. Binom. n (0,10,0.2 falso)= 0.1734 ≈ 17%

 

B)      Distrib. Binom. n (1,10,0.2;falso)=0.2684≈ 26%

 

C)      Distrib. Binom. n (1,10,0.20;verdadero)= 0.6242≈ 62%

 

D)     Distrib. Binom. n (2,10,0.20;verdadero)=0.3222≈ 32%

 

E)      Distrib. Binom. n (3,10,0.20;verdadero)=0.8791≈ 87%

 

EJERCICIO 3

La probabilidad de que en un CD de música dure al menos 1 año sin que falle es de 0.90 calcular la probabilidad de que en una muestra de 15.

A)     12 duren al menos un año

 

B)      A lo más 5 duren al menos 1 año

 

C)      Al menos 2 duren al menos 1 año

 

SOLUCION DE TABLAS BINOMIALES

 

A)     B(3;n=15;0.10)-B(2;n=15;p=0.10)= b(x=3;n=15;0.10)=0.1285

 

B)      1-B(9;n=15;0.10)=1-[0.2959+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.03+0.05]=1-1=0

 

C)      B(15-2-1;15;0.10)=B(12;15;0.10)=1

 

SOLUCION EXCEL

 

A)     B(x=12; n=15; p=0.9) =Distrib. Binom. N (12;0.90;falso)=0.1285

 

B)      B (x≤5; n=15;=0.90)= Distrib. Binom. N (12; 15; 0.90; verdadero)=00000002.

 

C)      1-B (x≤1; n 15; p=0.90=1- Distrib. Binom. N (1,15,0,0.90;verdadero)=1-0.000=1

 

EJERCICIO 4

 

Si 15 de 50 proyectos de vivienda violan el código de construcción cual es la probabilidad de que un inspector de vivienda que selecciona aleatoriamente a 4 de ellas descubra que.

 

A)     Ninguna de las casas viola el código de construcción

 

B)      Una viola el código de construcción

 

C)      Dos violan el código de construcción

 

D)      Al menos tres violan el código de construcción

N= 4
   P15/50
: . = p permanece constante 4

a)      P(x=0) = b(x0,n4, d=15/50)

 

b)      P(x=1)=b(-1,n=50,p=15)=

 

c)       P(x=2) = b(x=2,n=50,p=15)=

 

d)      P(x=3)= (x=3,n=50,p=15)=

 

SOLUCION USANDO EXCEL

 

A)     P(x=0) =b (x=0; n=4; p=0.3= Distrib. Binom. N (0,4,0.3,falso)= 0.24

 

B)      P (x=1) = b(x=2; n=4; p=0.3) = Distrib. Binom. N (0,4,0.3,falso)= 0.4116

 

C)      P (x=2) = b(x=2; n=4; p=0.3) = Distrib. Binom. N (0,4,0.3falso) =0.2640

 

D)     =p(x≥B)=1-B(x≤2;n=4;p=0.3)= 1 Distrib. Binom. N (2,4,0.30, verdadero)= 0.0837