DISTRIBUCION POISSON

DISTRIBUCION POISSON 

Esta distribucion es una de las mas importantes de las distribuciones de variables discretas. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modalizacion de situaciones en las que nos interesa determinar el no de hechos de cierto tipo que se producen en intervalos de cierto tiempo, espacio y area bajo supuesto de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes  es la consideracion lineal de procesos dicotomicos reiterados un gran numero de veces, si la probabilidad de tener un exito es muy pequeña.
Esta distribucion se puede hacer durante un proceso experimental de observacion en el que tengamos las siguientes caracteristicas.

·         En este tipo de experimentos los exitos buscados son expresados por unidad del area, tiempo, espacio, etc...

·         Si n > 20 y P < 0.05; Si n > 100 la aproximacion POISSON es generalmente excelente a condicion de que nP < 10.

·         Numero de defectos de un tele por m2.

P(X; LAMBDA) = LAMBDA2 e/X! para x; 0, 1, 2, 3...

P(X; 2) = Probabilidad de que ocurran X exitos cuando el numero promedio de ocurrencia de ellos es LAMBDA.

 

LAMBDA= Media o promedio de exitos por unidad de tiempo, area o producto (LAMBDA = nP) (e = 2.718).

X = Variable que nos denota el numero de exitos que se desea que ocurra.

 

La funcion de distribucion vendra dada por P (X; LAMBDA).

 

LAS TABLAS DE POISSON TIENEN UNA ESTRUCTURA DE LA FORMA SIGUIENTE:

 

Puede apreciarse que en la primera columna aparecen los valores de X, en las columnas restantes los valores de LAMBDA correpondiendo una probabilidad para cada X con su respectiva lambda por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad POISSON de X = 5 y para LAMBDA = 7 obtendriamos una probabilidad de:
P ( X = 5; LAMBDA = 7.0 ) = 0.1277

Usando excel la funcion POISSON, se debe de indicar en una celda vacia y escribir  =POISSON.DIST. Eñ software le mostrara las distribuciones existentes mientras esta escribiendo.
Puede observar que entre parentesis  aparecen 3 parametros:

X: Aqui debe escribir el numero de exitos que desea obtener.

 

Media: Es el valor de LAMBDA.

 

Acumulado: Verdadero o Falso ( si escribe verdadero: La distribucion calcula el valor acumulado desde X hasta o; si escribe FALSO: la distribucion solo calcula el valor puntual de X=POISSON.DIST:(5, 7, 0, FALSO)=0.12771667

EJEMPLO 1: Una empresa electronica observa que el numero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de POISSON. Si el promedio de estos fallos es 8;

1.-¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

2.-¿Y de que fallen no mas de dos componentes en 50 horas?

3.-¿Cual es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 horas?

SOLUCION: Usando las tablas de estadistica de POISSON sea la variable aleatoria X, con una distribucion de poisson con parametro lambda = (X) = 8 que determina el numero de componentesque fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.

1.- Considerando que se cumplen ciertas condiciones de irregularidad podemos asumir que una variable Z que mide el numero de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento, sigue una distribucion de POISSON con parametro LAMBDA = 2 por lo tanto la probabilidad deseada es de P ( Z ) = 1 LAMBDA = 2

P ( Z = 1; LAMBDA = 2 ) = 0.2707

Analogamente definimos una variable aleatoria U con distribucion de POISSON de parametro  LAMBDA = 4 que mide el numero de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento.

LAMBDA = 4

P ( U < 2 ; LAMBDA = 4 )

De la misma forma definiendo una variable aleatoria V con distribucion de POISSON de parametro LAMBDA.

 

LAMBDA = 10

Se obtiene:

P ( V > 10 ; LAMBDA = 10 ) = 1 - P ( V < 10 ; LAMBDA = 10 )

SOLUCION USANDO EXCEL:

1.- P ( Z = 1 ; LAMBDA  = 2 ) = POISSON DIST. ( 1,2 FALSO ) = 0.2707
2.- P ( V < 2 ; LAMBDA = 4 ) = POISSON DIST. ( 2,4 VERDADERO ) = 0.23
3.- P ( V > 10 ; LAMBDA = 10 ) = 1 - P  ( V < 10 ; LAMBDA = 10 ) = 1 - POISSON DIST. ( 4, 10, VERDADERO ) = 0.54207

EJEMPLO 2: Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa electrica inspecciona una muestra al azar de alternadores de un lote.
Si el 20% de los alternadoresde lote estan defectuosos...
Cual es la probabilidad de que la muestra:
a) Ninguno este defectuoso
b) 1 salga defectuoso
c) Al menos dos salgan defectuosos
d) Mas de tres esten con defectos
e) No mas de 3 esten con defectos

SOLUCION USANDO TABLAS BINOMIALES
a) P ( X = 0 ) = b ( X = 0, n = 10, P = 0.2 ) = 0.1074
b) P ( X = 1 ) = b ( X = 1, n = 10, P = 0.2 ) = 0.2684
c) P ( X > 2 ) = 1 - P ( X < 1 ) = 1 - B ( X < 1; n = 10, P = 0.2 ) = 1 - ( 0.1074 + 0.2643 ) = 0.6242
d) P ( X > 3 ) = 1 - P ( X < 2 ) = 1 - B ( X < 2; n = 10, P = 0.2 ) = 1 - ( 0.1074 + 0.2684 + 0.1020 ) = 0.3222
e) P ( X < 3 ) = B ( X < 3, n =10, P  = 0.3 ) = 0.1774 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013 = 0.8791.

SOLUCION USANDO EXCEL:

a) Distrib. Binom. (0, 10, 0.20, FALSO ) = 0.1734
b) Distrib. Binom. (1, 10, 0.20, FALSO ) = 0.2684
c) Distrib. Binom. (1, 10, 0.20 VERDADERO ) = 0.6242
d) Distrib. Binom. (2, 10, 0.20 VERDADERO ) = 0.3222
e) Distrib. Binom. (3, 10, 0.20 VERDADERO ) = 0.8791

EJEMPLO 3:

Supongamos que el numero de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribucion POISSON con una media de 2.4  imperfecciones por milimetro.

a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milimetro de alambre.
b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milimetros de alambre.
c) Determine la probabilidad de al menos una imperfeccion en 2 milimetros de alambre.

SOLUCION USANDO TABLAS DE ESTADISTICA DE POISSON:
a) P ( X = 2; LAMBDA 2.4 ) = 0.2673
b) Sea X el numero de imperfecciones en 5 milimetros de alambre, entonces X tiene una distribucion POISSON con LAMBDA = 5 milimetros x 2.4 uimperfecciones entre LAMBDA = 12 imperfecciones por milimetro cuadrado entonces:
P ( X = 10; LAMBDA = 12.0 ) = 0.1048
c) Sea X el numero de imperfecciones en dos milimetros de alambre, entonces X tiene una distribucion  de POISSON con LAMBDA = 2 milimetros x 2.4 milimetros de imperfecciones por milimetro cuadrado de 4.8.
P ( X > 1; LAMBDA = 4.8 ) = 1 - P ( X < 1; LAMBDA = 4.8 ) = 0.9918
SOLUCION USANDO EXCEL:
a) P ( X = 2; LAMBDA = 2.4 ) = POISSON Distrib. ( 2.2, 4, FALSO ) = 0.2643
b) P ( X = 10; LAMBDA = 12.0 ) POISSON Distrib. ( 10, 12, FALSO ) = 0.1048
c) P ( X > 1 ; LAMBDA = 4.8 ) = 1 - POISSON Distrib. ( 0, 4, 8, VERDADERO ) = 0.9918

EJEMPLO 4:
La contaminacion constituye un problema en la fabricacion de discos de almacenamiento optico. El número de particulas de contaminacion que ocurre en un disco optico tiene una distribucion de POISSON y el numero promedio de particulas por cm2 de superficie del disco es 0.1. El area de un disco bajo estudio es 100 cm2.
a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 particulas en el area del disco bajo estudio.
b) La probabilidad de que ocurran 0 particulas en el area del disco bajo estudio.
c) Determine la probabilidad de que 12 o menos particulas ocurran en el area del disco bajo estudio.

SOLUCION:
LAMBDA = 100 cm2 ( 0.1 ) particulas/cm2 = 10 partculas

USANDO LAS TABLAS DE ESTADISTICA DE POISSON

a) P ( X < = 12; LAMBDA = 10 ) 0.0948
b) P X = 0 ; LAMBDA = 10 ) = 0.0
c) P ( X = < 12; LAMBDA = 10 ) = 0.0 + 0.005 + 0.0998 = 0.7916

SOLUCION USANDO EXCEL
a) P ( X = 12; LAMBDA = 10 ) = POISSON Dsitrib. ( 12,10, FALSO ) = 0.0948
b) P ( X = 0; LAMBDA = 10 ) POISSON Dsitrib. ( 0, 10, FALSO ) = 0.000045
c) P ( X < 12; LAMBDA = 10 ) POISSON Dsitrib. ( 12

DISTRIBUCION BINOMIAL

DISTRIBUCION BINOMIAL

 

Función de probabilidad discreta

   Distribución binomial

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad y viene dada por la expresión siguiente. B(x: n, p)=(n/x)px(1-p)n-1

 

DONDE:

X= número de éxitos (x=0, 1,2…n)
P= probabilidad de éxitos
1-P= probabilidad de fracasos
N= tamaño de la muestra o números de ensayos

 

 

Condiciones para la distribución binomial

 

Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes.

 

·         El experimento aleatorio de base se repite (n) beses, todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

 

·         En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito, expresando por (b). Así mismo existe en cada prueba una misma probabilidad de fracasos que es igual a 1-p.

 

·         El objetivo de la distribución es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos.

 

·         La variable aleatoria “x” que indica el número de veces que  aparece un suceso denominado “A” (éxitos) es discreta y su recorrido es el conjunto de {(1,2,3…n)}

 

·         Los ejercicio los resolveremos con tablas estadísticas y posteriormente con la hoja de cálculo Excel de Microsoft ofiswort.

 

n	x	P=0,1	P=0,2	P=0,3	P=0,4	P=0,5
2	0	0.81000	0.6400	0.4900	0.3600	0.2500
	1	0.1800	0.3200	0.4200	0.4800	0.5000
	2	0.0100	0.0400	0.0900	0.1600	0.2500
3	0	0.7290	0.5120	0.3430	0.2160	0.1250
	1	0.2430	0.3840	0.4410	0.4320	0.3750
	2	0.0270	0.0960	0.1890	0.2880	0.3750
	3	0.0010	0.0080	0.0270	0.0640	0.1250

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Puede apreciarse en la primera columna aparece(n) en la segunda columna los valores de (x) por cada n y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de P.

Por ejemplo si estamos interesado en encontrar  la probabilidad binomial de n=3 ensayos de los cuales x=2  son éxitos con una probabilidad de acierto de P=0.40

=Distribución. Binom. N  (num-exitos; ensayos, proob- éxitos, acumulación)

 Se ubica en una celda bacía y se escribe  = distrib. Binom. N. El software le mostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo. Puede ver que entre paréntesis aparecen 4 parámetros:

 

Ensayos: es el tamaño de la muestra n

Prov.-éxito: probabilidad p de éxito

Acumulado: verdadero o falso. (Si escribe verdadero: la distribución calcula la distribución binomial acumulada desde “x” hasta “o” si escribe falso la distribución binomial solo calcula el valor puntual de “x”.

Por ejemplo: si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de n=3, ensayos de los cuales x=2, son éxitos con una probabilidad de acierto de p= 0.4 que da el mismo resultado conforme avanza la tabla.  = distrib. Binom. N (2, 3,0.40, falso)= 0.2800.

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas no obstante en algunos casos habrá pequeñas diferencias dado que las tablas contienen solo valores de probabilidad de cuadro decimales (es decir 10 milésimas) y en  Excel puede pedirle que le muestre los decimales que quiera.

EJERCICIO 1.

Sea x= núm. De preguntas contestadas correctamente en los tés (examen) de un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar.

 

A)     5 preguntas correctamente

 

B)      Una o más preguntas correctamente

 

C)       5 o más preguntas correctamente

 

D)     Entre 3 y 6 preguntas correctamente

 

Solución

N=10
       P= p (éxito) = p (pregunta contestada correctamente) = 0.5
       : . P – permanece constante

Asumiendo independencia  entre las construcciones de las preguntas obtendremos que  X  INDINITO  con (0, 0.5)

 

A)     P (X=5) b (X05,n=10) P 0 0.5

 

B)      P(X≥1) =- P (X<1>=1-P(X=0)=1-B(X=0,n=10, p=0.5)

 

C)      P(X≥5)=-P(X<1>=5-P(X=0)=5-B(X=0,N=10,P=0.5)

 

D)     P(X≤ X≤ 6)=B(X≤6;N=10,N=0.5)-B*(X<-2/N=10,P=0.5)

 

USANDO EXCEL.

A)     Distrib. Binom. n(5,10,0.5,falso)=0.2461

 

B)      1- Disrtib. Binom. n(0,10,0.5,falso)= 1-0.0010= 0.9990

 

C)      1- Distrib. Binom. n(4,10,0.5,verdadero)=1-0.3770=0.6230

 

D)     Distrib. Binom. n (6, 10,0.5; verdadero) – Distrib. Binom. n 1(2;10,0.50,verdadero)

 

=0.8281-0.547=0.7734

 

 EJERCICIO 2.

 

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

A)     Ninguno este defectuoso

 

B)      Uno salga defectuoso

 

C)      Amenos dos salgan defectuosos

 

D)     Más de tres estén con defectos

 

E)      No más de tres estén con defectos

 

SOLUCION USANDO TABLAS BINOMIALES

 
A)     P(x=0) = b(x=0;n=10;p=0.2) = 0.1074

 

B)      P(x=1) = b(x=1;n=10;p=.2)= 0.2684

 

C)      P(x ≥2)=1-p(x≤1)=1-b(x≤1;n=10;p=0.2)=0.6242

 

D)     P(x ≥ 3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2;n=10;p=0.2)=0.3222

 

E)      P(x≤3)=1-p(x≥3;n=10;p=0.2)=0.8791

 

SOLUCION USANDO EXCEL

 

A)     Distrib. Binom. n (0,10,0.2 falso)= 0.1734 ≈ 17%

 

B)      Distrib. Binom. n (1,10,0.2;falso)=0.2684≈ 26%

 

C)      Distrib. Binom. n (1,10,0.20;verdadero)= 0.6242≈ 62%

 

D)     Distrib. Binom. n (2,10,0.20;verdadero)=0.3222≈ 32%

 

E)      Distrib. Binom. n (3,10,0.20;verdadero)=0.8791≈ 87%

 

EJERCICIO 3

La probabilidad de que en un CD de música dure al menos 1 año sin que falle es de 0.90 calcular la probabilidad de que en una muestra de 15.

A)     12 duren al menos un año

 

B)      A lo más 5 duren al menos 1 año

 

C)      Al menos 2 duren al menos 1 año

 

SOLUCION DE TABLAS BINOMIALES

 

A)     B(3;n=15;0.10)-B(2;n=15;p=0.10)= b(x=3;n=15;0.10)=0.1285

 

B)      1-B(9;n=15;0.10)=1-[0.2959+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.03+0.05]=1-1=0

 

C)      B(15-2-1;15;0.10)=B(12;15;0.10)=1

 

SOLUCION EXCEL

 

A)     B(x=12; n=15; p=0.9) =Distrib. Binom. N (12;0.90;falso)=0.1285

 

B)      B (x≤5; n=15;=0.90)= Distrib. Binom. N (12; 15; 0.90; verdadero)=00000002.

 

C)      1-B (x≤1; n 15; p=0.90=1- Distrib. Binom. N (1,15,0,0.90;verdadero)=1-0.000=1

 

EJERCICIO 4

 

Si 15 de 50 proyectos de vivienda violan el código de construcción cual es la probabilidad de que un inspector de vivienda que selecciona aleatoriamente a 4 de ellas descubra que.

 

A)     Ninguna de las casas viola el código de construcción

 

B)      Una viola el código de construcción

 

C)      Dos violan el código de construcción

 

D)      Al menos tres violan el código de construcción

N= 4
   P15/50
: . = p permanece constante 4

a)      P(x=0) = b(x0,n4, d=15/50)

 

b)      P(x=1)=b(-1,n=50,p=15)=

 

c)       P(x=2) = b(x=2,n=50,p=15)=

 

d)      P(x=3)= (x=3,n=50,p=15)=

 

SOLUCION USANDO EXCEL

 

A)     P(x=0) =b (x=0; n=4; p=0.3= Distrib. Binom. N (0,4,0.3,falso)= 0.24

 

B)      P (x=1) = b(x=2; n=4; p=0.3) = Distrib. Binom. N (0,4,0.3,falso)= 0.4116

 

C)      P (x=2) = b(x=2; n=4; p=0.3) = Distrib. Binom. N (0,4,0.3falso) =0.2640

 

D)     =p(x≥B)=1-B(x≤2;n=4;p=0.3)= 1 Distrib. Binom. N (2,4,0.30, verdadero)= 0.0837